Problem of the week 4: Parabola

Hai, sobat KOJA! Apa kabar???
Ketemu lagi nih dengan Problem of the week Fisika... Langsung aja simak soal-bahas berikut:

Soal:

Titik A terletak pada ujung dasar bidang miring yang memiliki sudut kemiringan $\alpha$ terhadap tanah. Sebuah benda dilempar dari titik A ke atas bidang miring dengan sudut elevasi $\beta$ terhadap bidang miring dan dengan kecepatan awal $v_0$. Diketahui percepatan gravitasi adalah $g$. Berapa nilai $\beta$ sedemikian sehingga arah kecepatannya tegak lurus terhadap bidang miring ketika sampai permukaan bidang miring?

Solusi:

Pertama-tama marilah kita sketsakan apa yang terjadi,

Gambar 1. Sketsa Gerak Parabola di atas Bidang Miring

Garis merah adalah jalur gerak dari benda.

Gerak parabola terdiri dari dua arah: arah horizontal dan vertikal. Kita bisa memperoleh persamaan gerak dengan menganalisis gerak di masing-masing arah. Untuk mempermudah perhitungan, kita akan putar gambar di atas sedemikian sehingga bidang miring menjadi garis horizontalnya sebagaimana ditunjukkan gambar berikut:

Gambar 2. Sketsa Gerak Setelah Bidang Miring Diputar

Dari Gambar 2, kita bisa melihat bahwa gerak arah sumbu $x$ dan $y$, keduanya mengalami perlambatan. Persamaan umum GLBB:  $$v = v_0 + at$$ $$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$ di mana,

$v$ adalah kecepatan benda tiap saat

$v_0$ adalah kecepatan awal benda

$a$ adalah percepatan benda

$x$ adalah posisi setiap saat benda

$x_0$ adalah posisi awal benda

$t$ adalah waktu

Arah $x$ $$v_x = v_0cos(\beta) - g sin(\alpha)t$$ $$x = v_0cos(\beta)t - \frac{1}{2}g sin(\alpha)t^2$$ Arah $y$  $$v_y = v_0sin(\beta) - g cos(\alpha)t$$ $$y = v_0sin(\beta)t - \frac{1}{2}g cos(\alpha)t^2$$

Ketika menyentuh permukaan bidang miring, benda memiliki kecepatan yang arahnya tegak lurus terhadap permukaan bidang miring. Ini berarti ketika benda menyentuh bidang miring ($y = 0$), benda tersebut tidak memiliki kecepatan arah horizontal ($v_x = 0$).

Ayo kita selesaikan ini!

Syarat pertama, $v_x = 0$ $$v_x = v_0cos(\beta) - g sin(\alpha)t$$ $$0 = v_0cos(\beta) - g sin(\alpha)t$$ $$t = \frac{v_0cos(\beta)}{g sin(\alpha)}$$ Syarat kedua, $y = 0$ $$y = v_0sin(\beta)t - \frac{1}{2}g cos(\alpha)t^2$$ $$0 = v_0sin(\beta)t - \frac{1}{2}g cos(\alpha)t^2$$ $$t = \frac{2v_0sin(\beta)}{g cos(\alpha)}$$ dengan $t_{condition 1} = t_{condition 2}$, kita peroleh $$\frac{v_0cos(\beta)}{g sin(\alpha)} = \frac{2v_0sin(\beta)}{g cos(\alpha)}$$ $$cot(\beta) = 2tan(\alpha)$$ $$\beta = cot^{-1}(2tan(\alpha)$$

Salam

K